Monthly Test -3 कक्षा-6 ग‍णि‍त प्रकाश अध्याय-3 "संख्याओं का खेल

                                           (कक्षा-6) ग‍णि‍त प्रकाश

                                    (https://braingain19.blogspot.com/)

                      Monthly Test -3 अध्याय-3 "संख्याओं का खेल 

           राजकीय वरिष्ठ माध्यमिक विद्यालय,शिकारपुर (1411 ),हिसार।

कक्षा 6th विषय: गणित मासिक टेस्ट (Monthly Test) -3 संख्याओं का खेल

विद्यार्थी का नाम.........................……… रोल नं....... दिनांक ...................

समय: 40 मिनट कुल अंक: 20

सामान्य निर्देश:

सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।

प्रश्न 1 से 5 तक बहुविकल्पीय (MCQs) हैं, प्रत्येक के लिए 1 अंक निर्धारित है।

प्रश्न 6 से 11 तक रिक्त स्थान, सही/गलत और लघु उत्तरीय प्रश्न हैं, प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं।

प्रश्न 12 के लिए 3 अंक निर्धारित हैं और इसमें दो विकल्प दिए गए हैं।

भाग 1:खंड 'अ' (बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) - 1 अंक प्रत्येक) (5 × 1 = 5 अंक)

सही विकल्प का चयन करें:

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या एक 'पैलिंड्रोम' (विलोमाक्षर) संख्या है?

         (a) 123                   (b) 456

         (c) 797                   (d) 100

प्रश्न 2 प्रसिद्ध 'कापरेकर स्थिरांक' (Kaprekar's Constant) कौन-सी संख्या है?

       (a) 1000                  (b) 6174

       (c) 9999                  (d) 1234

प्रश्न 3 कोलाट्ज़ अनुमान (Collatz Conjecture) के नियम के अनुसार, यदि कोई संख्या सम (even) है, तो 

अगला पद प्राप्त करने के लिए क्या किया जाता है?

      (a) 3 से गुणा करके 1 जोड़ते हैं             (b) आधा (2 से भाग) करते हैं

      (c) 1 घटाते हैं                                    (d) वही संख्या रखते हैं

प्रश्न 4 यदि हम 1 से 100 तक की संख्याएँ लिखें, तो अंक '7' कुल कितनी बार आता है?

      (a) 10 बार                    (b) 19 बार

      (c) 20 बार                    (d) 11 बार

प्रश्न 5 दो अंकों की सबसे छोटी पैलिंड्रोम संख्या कौन-सी है?

       (a) 10                          (b) 11

       (c) 22                          (d) 99

खण्ड-ब: रिक्त स्थान भरें एवं सही/गलत प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है (प्रश्न 6 से 7) (2 × 2 = 4 अंक)

प्रश्न 6 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

(a) ऐसी संख्याएँ जिन्हें आगे से या पीछे से पढ़ने पर एक जैसी (समान) पढ़ा जाए, उन्हें ______ संख्याएँ कहते हैं।

(b) 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या का अंतर हमेशा एक निश्चित जादुई संख्या 6174 पर 

पहुँचता है, जिसे ______ स्थिरांक कहा जाता है।

प्रश्न 7 बताइए कि निम्नलिखित कथन सही हैं या गलत 

(a) कोलाट्ज़ अनुमान के अनुसार, किसी भी पूर्ण संख्या से शुरू करके नियम लागू करने पर अंत में हमेशा 

संख्या 1 पर पहुँचा जाता है।

(b) एक 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या में से 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या घटाने पर हमेशा 3 अंकों की संख्या 

प्राप्त होती है।

खण्ड-स: लघु उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 8 से 11) (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है) (4 × 2 = 8 अंक)

प्रश्न 8 : पैलिंड्रोम संख्या किसे कहते हैं? 3 अंकों की किन्हीं दो पैलिंड्रोम संख्याओं के उदाहरण दीजिए।

प्रश्न 9 : कोलाट्ज़ अनुमान (Collatz Conjecture) का नियम लिखिए।

प्रश्न.10 : अंकों '2', '0', '1', '4' का उपयोग करके 4 अंकों की सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बनाइए तथा 

उनका अंतर ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11 : यदि घड़ी में 12:21 बजे हैं, तो क्या यह समय एक पैलिंड्रोम है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

खण्ड-द: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 12) (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है) (3 × 1 = 3 अंक)

प्रश्न 12 : खेल 2 (21 के खेल पर आधारित) के नियम: पहला खिलाड़ी 1 से 10 तक के बीच कोई संख्या बोलता है। 

दोनों खिलाड़ी बारी-बारी से पहली बोली गई संख्या में 1, 2 या 3 जोड़ते हैं। जो खिलाड़ी पहले 99 पर पहुँचेगा, वह जीतेगा।

इस खेल में जीतने की रणनीति क्या होनी चाहिए? समझाइए।

                                     अथवा

प्रश्न 12 : संख्या 5683 को लेकर कापरेकर स्थिरांक (6174) प्राप्त करने की प्रक्रिया के प्रथम चरण को लिखिए 

(अर्थात सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या बनाकर उनका अंतर ज्ञात कीजिए)।

कक्षा 6th विषय: गणित Test -2 रेखाएँ और कोण

सभी प्रश्नों के स्पष्ट और सरल उत्तर (Solutions)

उत्तर 1: प्र. 1 निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या एक 'पैलिंड्रोम' (विलोमाक्षर) संख्या है?

• उत्तर: (c) 797

• स्पष्टीकरण: संख्या 797 को चाहे बाएँ से दाएँ पढ़ें या दाएँ से बाएँ, यह एक ही जैसी पढ़ी जाती है।

• पैलिंड्रोम (विलोमाक्षर) संख्याएँ : वे संख्याएँ जिन्हें बाएँ से दाएँ या दाएँ से बाएँ पढ़ने पर एक जैसी (समान) दिखती हैं, 

• पैलिंड्रोम संख्याएँ कहलाती हैं।

• उदाहरण: 66, 848, 121, 313, 1111 आदि।

प्र. 2 प्रसिद्ध 'कापरेकर स्थिरांक' (Kaprekar's Constant) कौन-सी संख्या है?

• उत्तर: (b) 6174

• स्पष्टीकरण: डी.आर. कापरेकर द्वारा खोई गई जादुई संख्या 6174 को कापरेकर स्थिरांक कहा जाता है।

• कापरेकर स्थिरांक (Kaprekar's Constant) : डी.आर. कापरेकर द्वारा खोजी गई संख्या 6174 को 'कापरेकर स्थिरांक' कहा जाता है। यदि आप 4 अंकों की कोई भी ऐसी संख्या लेते हैं जिसमें सभी अंक एक जैसे न हों (जैसे 6382), और उससे बनने वाली सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर निकालते हैं, और इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराते हैं, तो अंत में हमेशा 6174 ही प्राप्त होता है।

प्र. 3 कोलाट्ज़ अनुमान (Collatz Conjecture) के नियम के अनुसार, यदि कोई संख्या सम (even) है, तो अगला 

पद प्राप्त करने के लिए क्या किया जाता है?

• उत्तर: (b) आधा (2 से भाग) करते हैं

• स्पष्टीकरण: कोलाट्ज़ नियम के अनुसार सम संख्या का आधा किया जाता है और विषम संख्या को 3 से गुणा करके 1 जोड़ा जाता है।

• कोलाट्ज़ अनुमान (Collatz Conjecture) : इस नियम के अनुसार, हम किसी भी पूर्ण संख्या से शुरुआत कर सकते हैं:

यदि संख्या सम (Even) है, तो उसका आधा कर देते हैं (यानी 2 से भाग देते हैं)।

• यदि संख्या विषम (Odd) है, तो उसे 3 से गुणा करके उसमें 1 जोड़ देते हैं। इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराने पर अंत में हमेशा संख्या 1 पर ही पहुँचा जाता है।

प्र. 4 यदि हम 1 से 100 तक की संख्याएँ लिखें, तो अंक '7' कुल कितनी बार आता है?

• उत्तर: (b) 19 बार

• स्पष्टीकरण: इकाई के स्थान पर 7 आने वाली संख्याएँ (7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97) कुल 10 बार और दहाई के स्थान पर 7 आने वाली संख्याएँ (70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79) कुल 10 बार आती हैं। चूँकि 77 दोनों में शामिल है, इसलिए 7 कुल 10 + 10 - 1 = 19 बार आता है।

प्र. 5 दो अंकों की सबसे छोटी पैलिंड्रोम संख्या कौन-सी है?

• उत्तर: (b) 11

• स्पष्टीकरण: 11 को दोनों तरफ से पढ़ने पर समान पढ़ा जाता है और यह दो अंकों की सबसे छोटी ऐसी संख्या है।

खंड 'ब' (रिक्त स्थान और सही/गलत - हल)

प्र. 6 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

(a) ऐसी संख्याएँ जिन्हें आगे से या पीछे से पढ़ने पर एक जैसी (समान) पढ़ा जाए, उन्हें पैलिंड्रोम (विलोमाक्षर) संख्याएँ कहते हैं.

(b) 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या का अंतर हमेशा एक निश्चित जादुई संख्या 6174 पर पहुँचता है, जिसे कापरेकर स्थिरांक कहा जाता है.

प्र. 7 बताइए कि निम्नलिखित कथन सही हैं या गलत:

(a) कोलाट्ज़ अनुमान के अनुसार, किसी भी पूर्ण संख्या से शुरू करके नियम लागू करने पर अंत में हमेशा संख्या 1 पर पहुँचा जाता है। — सही

(b) एक 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या में से 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या घटाने पर हमेशा 3 अंकों की संख्या प्राप्त होती है। — गलत

• स्पष्टीकरण: 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99,999 और सबसे छोटी संख्या 10,000 है। इनका अंतर 99,999 - 10,000 = 89,999 होता है, जो कि एक 5 अंकों की संख्या है, 3 अंकों की नहीं।

खंड 'स' (लघु उत्तरीय प्रश्न - हल)

प्र. 8 पैलिंड्रोम संख्या किसे कहते हैं? 3 अंकों की किन्हीं दो पैलिंड्रोम संख्याओं के उदाहरण दीजिए।

• उत्तर: वे संख्याएँ जिन्हें बाएँ से दाएँ या दाएँ से बाएँ पढ़ने पर बिल्कुल एक जैसी (समान) पढ़ा जाए, पैलिंड्रोम संख्याएँ कहलाती हैं।

• उदाहरण: 121 और 313।

प्र. 9 कोलाट्ज़ अनुमान (Collatz Conjecture) का नियम लिखिए।

• उत्तर: इस नियम के अनुसार, किसी भी पूर्ण संख्या से शुरुआत करते हैं:

  1. यदि संख्या सम (Even) है, तो उसका आधा करते हैं (यानी 2 से भाग देते हैं)।

  2. यदि संख्या विषम (Odd) है, तो उसे 3 से गुणा करके उसमें 1 जोड़ते हैं।

इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराने पर अंत में हमेशा 1 प्राप्त होता है।

प्र. 10 अंकों '2', '0', '1', '4' का उपयोग करके 4 अंकों की सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बनाइए तथा उनका अंतर ज्ञात कीजिए।

• हल:

  • दिए गए अंक: 2, 0, 1, 4

  • सबसे बड़ी संख्या (A) = 4210

  • सबसे छोटी संख्या (B) = 1024 (ध्यान दें कि शून्य से संख्या शुरू नहीं की जा सकती)

  • अंतर (A - B) = 4210 - 1024 = 3186

• उत्तर: सबसे बड़ी संख्या 4210, सबसे छोटी संख्या 1024 और इनका अंतर 3186 है।

प्र. 11 यदि घड़ी में 12:21 बजे हैं, तो क्या यह समय एक पैलिंड्रोम है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

• उत्तर: हाँ, 12:21 एक पैलिंड्रोम समय है।

• कारण: इस समय के अंकों को बाएँ से दाएँ (1-2-2-1) या दाएँ से बाएँ (1-2-2-1) पढ़ने पर एक समान पढ़ा जाता है।

खंड 'द' (दीर्घ उत्तरीय प्रश्न - हल)

उत्तर : 12. खेल 2 (21 के खेल पर आधारित) के नियम:

पहला खिलाड़ी 1 से 10 तक के बीच कोई संख्या बोलता है। दोनों खिलाड़ी बारी-बारी से पहली बोली गई संख्या में 1, 2 या 3 जोड़ते हैं। जो खिलाड़ी पहले 99 पर पहुँचेगा, वह जीतेगा।

• जीतने की रणनीति:

इस प्रकार के खेलों में जीतने के लिए खिलाड़ी को अंतिम लक्ष्य (99) से पीछे की ओर एक निश्चित पैटर्न या सुरक्षित संख्याओं (Winning Positions) पर पहुँचना होता है। चूँकि प्रत्येक बार अधिकतम 3 जोड़ा जा सकता है, इसलिए यदि आप खेल में ऐसी स्थिति बना लेते हैं जहाँ योग का नियंत्रण आपके हाथ में हो (जैसे प्रतिद्वंद्वी के खेलने के बाद कुल योग हमेशा एक निश्चित अंतराल पर पहुँचे), तो आप निश्चित रूप से 99 पर पहले पहुँचकर जीत सकते हैं।

अथवा

प्र. : 12. संख्या 5683 को लेकर कापरेकर स्थिरांक (6174) प्राप्त करने की प्रक्रिया के प्रथम चरण को लिखिए (अर्थात सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या बनाकर उनका अंतर ज्ञात कीजिए)।

• हल:

  1. दी गई संख्या के अंकों (5, 6, 8, 3) से बनने वाली सबसे बड़ी संख्या (A) = 8653

  2. उन्हीं अंकों से बनने वाली सबसे छोटी संख्या (B) = 3568

  3. दोनों का अंतर (C = A – B) : 8653 - 3568 = 5085

• उत्तर : 12. प्रथम चरण के पश्चात प्राप्त अंतर 5085 है।